réflexions sur l'abstraction algorithmique
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@ -2,7 +2,8 @@ Algorithmique
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Al-Kharezmi, auteur du traité "Kitab al jabr w'al-muqabala", est l'inventeur
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des manipulations algébriques (algèbre = al jabr).
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des manipulations algébriques (algèbre = al jabr), mais l'algèbre existe
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depuis bien plus longtemps (Babylone, puis l'Egypte ancienne).
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C'est Léonard de Pise, dit Fibonacci, qui emprunta le nom du célèbre
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mathématicien arabe du 9ème siècle.
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@ -25,8 +26,10 @@ qui sont impliquées dans la définition d'algorithmes.
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Implémentation d'un algorithme
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Adaptation de la méthodologie de calculabilité au calcul effectif
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sur une machine abstraite ou via un langage formel.
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implémentation
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Adaptation de la méthodologie de calculabilité au calcul effectif
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sur une machine abstraite ou via un langage formel.
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Il n’y a pas de parcours à sens unique de l’algorithme vers l’implantation.
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La quête d’une implantation efficace nous amène souvent à effectuer
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@ -34,36 +37,82 @@ un retour vers les algorithmes eux-mêmes, et à en modifier des points
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essentiels. L’aspect théorique de réflexion sur les algorithmes,
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et l’aspect pratique de l'implémentation sont donc en symbiose.
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Un existant émerge de la décomposition structurale d'un
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domaine de base. Le fait essentiel, c'est la genèse des genres de l'existant les
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uns à partir des autres.
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L'essence d'une forme (un algorithme) se réalise au sein d'une matière qu'elle créée
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(un langage). L'origine d'une matière fait naître les formes (concepts)
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que sa structure dessine.
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- Notion structurale de non-contradiction
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- Notion extensive de "réalisation dans un champ donné"
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Deux aspects réciproques : l'essence d'une forme se réalise au sein d'une
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matière qu'elle crée, l'essence d'une matière faisant naître les formes que sa
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structure dessine.
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Abandonner l'idée trop simpliste de domaines concrets et d'opérations abstraites
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qui posséderaient en eux-mêmes comme une nature de matière et une nature de
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forme ; cette conception tendrait, en effet, à stabiliser les existants
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mathématiques dans certains rôles immuables et ignorerait le fait que les
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existants abstraits qui naissent de la structure d'un domaine plus concret
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peuvent à leur tour servir de domaine de base pour la genèse d'autres existants.
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Types d'algorithmes
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La boucle
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Différents types de boucles (suites récurrentes, goto, boucle for...)
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.. raw:: latex
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\begin{algorithm}
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\caption{My algorithm}\label{euclid}
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\begin{algorithmic}[1]
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\Procedure{MyProcedure}{}
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\State $\textit{stringlen} \gets \text{length of }\textit{string}$
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\State $i \gets \textit{patlen}$
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\BState \emph{top}:
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\If {$i > \textit{stringlen}$} \Return false
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\EndIf
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\State $j \gets \textit{patlen}$
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\BState \emph{loop}:
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\If {$\textit{string}(i) = \textit{path}(j)$}
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\State $j \gets j-1$.
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\State $i \gets i-1$.
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\State \textbf{goto} \emph{loop}.
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\State \textbf{close};
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\EndIf
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||||
\State $i \gets
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i+\max(\textit{delta}_1(\textit{string}(i)),\textit{delta}_2(j))$.
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||||
\State \textbf{goto} \emph{top}.
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||||
\EndProcedure
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||||
\end{algorithmic}
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||||
\end{algorithm}
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||||
\begin{algorithm}
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||||
\caption{My algorithm}\label{euclid}
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||||
\begin{algorithmic}[1]
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||||
\Procedure{MyProcedure}{}
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||||
\State $\textit{stringlen} \gets \text{length of }\textit{string}$
|
||||
\State $i \gets \textit{patlen}$
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||||
\BState \emph{top}:
|
||||
\If {$i > \textit{stringlen}$} \Return false
|
||||
\EndIf
|
||||
\State $j \gets \textit{patlen}$
|
||||
\BState \emph{loop}:
|
||||
\If {$\textit{string}(i) = \textit{path}(j)$}
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||||
\State $j \gets j-1$.
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||||
\State $i \gets i-1$.
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||||
\State \textbf{goto} \emph{loop}.
|
||||
\State \textbf{close};
|
||||
\EndIf
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||||
\State $i \gets
|
||||
i+\max(\textit{delta}_1(\textit{string}(i)),\textit{delta}_2(j))$.
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||||
\State \textbf{goto} \emph{top}.
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||||
\EndProcedure
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\end{algorithmic}
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\end{algorithm}
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.. raw:: latex
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\begin{algorithm}
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\caption{Euclid's algorithm}\label{euclid}
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\begin{algorithmic}[1]
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\Procedure{Euclid}{$a,b$}\Comment{The g.c.d. of a and b}
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\State $r\gets a\bmod b$
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\While{$r\not=0$}\Comment{We have the answer if r is 0}
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\State $a\gets b$
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\State $b\gets r$
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\State $r\gets a\bmod b$
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||||
\EndWhile\label{euclidendwhile}
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||||
\State \textbf{return} $b$\Comment{The gcd is b}
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||||
\EndProcedure
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||||
\end{algorithmic}
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||||
\end{algorithm}
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L'algorithme comme généralisation de la calculabilité
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@ -139,6 +188,43 @@ Démonstration
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vérification d’une proposition par une séquence de déductions logiques
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à partir d’un ensemble d’axiomes.
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Lorsque le champ donné (le domaine) ne contient qu'un nombre fini d'individus,
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on peut définir un choix de valeur des variables permettant de vérifier la
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proposition obtenue par la *conjonction* de tous les axiomes du système proposé.
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On dit alors que ce choix *réalise* un système d'axiomes.
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Il ne s'agit plus de savoir si la définition entraîne l'existence, mais de
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chercher si la structure d'un système d'axiomes (*règles*) peut donner naissance
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à un champ d'individus qui soutiennent entre eux les relations définies pas les
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axiomes.
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Concret et abstrait
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Il est possible qu'un même genre d'existant joue dans un schéma de genèse le
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rôle d'abstrait par rapport à un concret de base, et soit au contraire dans une
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autre genèse le concret de base d'un nouvel abstrait.
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Une pareille présentation des choses implique un tel renversement par rapport
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aux habitudes de pensée classiques, qu'il faut encore insister sur le sens
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nouveau que reçoivent ici les expressions de "concret" et "d'abstrait".
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Les systèmes d'axiomes sont souvent conçus comme des structures purement
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formelles, abstraites. Ces structures sont si profondément engagées dans la
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genèse de leurs réalisations, qu'il valait mieux désigner par ces termes les
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structures de base.
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Un système d'axiome *peut* devenir le concret de base.
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Ceci permet d'exprimer non seulement l'engagement du concret dans la genèse de
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l'abstrait, mais encore les relations d'imitation qui peuvent exister entre la
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structure de cet abstrait et celle du concret de base.
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Dans certains cas, la genèse de l'abstrait à partir d'un concret de base
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s'affirme jusqu'à réaliser une imitation de structure entre ces genres
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d'existants qui naissent l'un de l'autre.
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Comment rendre un algorithme lisible
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