Algorithmique
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Al-Kharezmi, auteur du traité "Kitab al jabr w'al-muqabala", est l'inventeur
des manipulations algébriques (algèbre = al jabr).
C'est Léonard de Pise, dit Fibonacci, qui emprunta le nom du célèbre
mathématicien arabe du 9ème siècle.

.. glossary::


    algorithme

        terme désignant une suite d'opérations constituant un schéma de calcul
        ou de résolution d'un problème.

		C'est un processus systématique de résolution d'un problème
        permettant de décrire précisément des étapes.
        C'est une suite finie d'instructions permettant de donner la réponse
        à un problème.

L'algorithmique est l'étude et la production de règles et de techniques
qui sont impliquées dans la définition d'algorithmes.

Implémentation d'un algorithme
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Adaptation de la méthodologie de calculabilité au calcul effectif
sur une machine abstraite ou via un langage formel.

Il n’y a pas de parcours à sens unique de l’algorithme vers l’implantation.
La quête d’une implantation efficace nous amène souvent à effectuer
un retour vers les algorithmes eux-mêmes, et à en modifier des points
essentiels. L’aspect théorique de réflexion sur les algorithmes,
et l’aspect pratique de l'implémentation sont donc en symbiose.

Types d'algorithmes
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.. raw:: latex

    \begin{algorithm}
    \caption{My algorithm}\label{euclid}
    \begin{algorithmic}[1]
    \Procedure{MyProcedure}{}
    \State $\textit{stringlen} \gets \text{length of }\textit{string}$
    \State $i \gets \textit{patlen}$
    \BState \emph{top}:
    \If {$i > \textit{stringlen}$} \Return false
    \EndIf
    \State $j \gets \textit{patlen}$
    \BState \emph{loop}:
    \If {$\textit{string}(i) = \textit{path}(j)$}
    \State $j \gets j-1$.
    \State $i \gets i-1$.
    \State \textbf{goto} \emph{loop}.
    \State \textbf{close};
    \EndIf
    \State $i \gets
    i+\max(\textit{delta}_1(\textit{string}(i)),\textit{delta}_2(j))$.
    \State \textbf{goto} \emph{top}.
    \EndProcedure
    \end{algorithmic}
    \end{algorithm}


L'algorithme comme généralisation de la calculabilité
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L'importance croissante de l'informatique comme outil scientifique
impose d'élaborer un nouveau mode de description des méthodes de calcul (appelées algorithmes)
susceptible de satisfaire à la fois le critère de sécurité (maîtrise du résultat) et la possibilité
d'implémenter les calculs sur un ordinateur.

Qualité d'un algorithme
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- correction d'un algorithme
- complétude d'un algorithme

Sémantique

    Étude du sens, de la signification d'un langage
    Définir la sémantique d’un langage formel consiste à lui donner une
    signification mathématique.

Sémantique opérationnelle

    on définit la sémantique par sa mise en œuvre sur
    une machine abstraite.

Sémantique dénotationnelle

	on associe à chaque construction syntaxique un
	objet mathématique

Sémantique axiomatique

    chaque construction est décrite par la manière dont
    elle transforme des propriétés ou des prédicats.

Proposition

    une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux

**exemple** : ``2 + 3 = 5``. Proposition vraie.

Prédicats

	Définition : Une proposition dont la valeur de vérité dépend de la valeur
    d’une ou plusieurs variables

**Exemple** : “n est pair” : vrai pour n = 4 mais faux pour n = 9


Axiome

    une proposition qui est supposée vraie

Un ensemble d’axiomes est consistant s’il n’existe pas de proposition
dont on peut démontrer qu’elle est à la fois vraie et fausse.

Un ensemble d’axiomes est complet si, pour toute proposition, il est
possible de démontrer qu’elle est vraie ou fausse.

Théorème d’incomplétude de Gödel (1931) : tout ensemble
consistant d’axiomes pour l’arithmétique sur les entiers est
nécessairement incomplet.

**Les concepts de base en algorithmique sont les axiomes**

inférence

    règles d’inférence, règles permettant de combiner des axiomes et des
    propositions vraies pour établir de nouvelles propositions vraies.

Démonstration

    vérification d’une proposition par une séquence de déductions logiques
    à partir d’un ensemble d’axiomes.

Comment rendre un algorithme lisible
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- Le bon algorithme utilise des identifiants explicites.
- Le bon algorithme est structuré.
- Le bon algorithme est indenté.


Complexité d'un algorithme
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On peut approximer la complexité des algorithmes.
C'est utile pour pouvoir comparer des algorithmes.

complexité

	estimer la complexité d'unalgorithme,
    c'est-à-dire estimer le nombre de calculs qu'il utilise.

analyse de complexité