Algorithmique ============= Al-Kharezmi, auteur du traité "Kitab al jabr w'al-muqabala", est l'inventeur des manipulations algébriques (algèbre = **al jabr**). C'est Léonard de Pise, dit Fibonacci, qui emprunta le nom du célèbre mathématicien arabe du 9ème siècle, mais l'algèbre existe depuis bien plus longtemps (Depuis Babylone, puis ensuite l'Egypte ancienne). .. glossary:: algorithme terme désignant une suite d'opérations constituant un schéma de calcul ou de résolution d'un problème. C'est un processus systématique de résolution d'un problème permettant de décrire précisément des étapes. C'est une suite finie d'instructions permettant de donner la réponse à un problème. L'algorithmique est l'étude et la production de règles et de techniques qui sont impliquées dans la définition d'algorithmes. Implémentation d'un algorithme ------------------------------ .. glossary:: implémentation Adaptation de la méthodologie de calculabilité au calcul effectif sur une machine abstraite ou via un langage formel. Il n’y a pas de parcours à sens unique de l’algorithme vers l’implantation. La quête d’une implantation efficace nous amène souvent à effectuer un retour vers les algorithmes eux-mêmes, et à en modifier des points essentiels. L’aspect théorique de réflexion sur les algorithmes, et l’aspect pratique de l'implémentation sont donc en symbiose. Un existant émerge de la décomposition structurale d'un domaine de base. Le fait essentiel, c'est la genèse des genres de l'existant les uns à partir des autres. L'essence d'une forme (un algorithme) se réalise au sein d'une matière qu'elle créée (un langage). L'origine d'une matière fait naître les formes (concepts) que sa structure dessine. - Notion structurale de non-contradiction - Notion extensive de "réalisation dans un champ donné" Deux aspects réciproques : l'essence d'une forme se réalise au sein d'une matière qu'elle crée, l'essence d'une matière faisant naître les formes que sa structure dessine. Abandonner l'idée trop simpliste de domaines concrets et d'opérations abstraites qui posséderaient en eux-mêmes comme une nature de matière et une nature de forme ; cette conception tendrait, en effet, à stabiliser les existants mathématiques dans certains rôles immuables et ignorerait le fait que les existants abstraits qui naissent de la structure d'un domaine plus concret peuvent à leur tour servir de domaine de base pour la genèse d'autres existants. L'algorithme comme généralisation de la calculabilité ------------------------------------------------------ L'importance croissante de l'informatique comme outil scientifique impose d'élaborer un nouveau mode de description des méthodes de calcul (appelées algorithmes) susceptible de satisfaire à la fois le critère de sécurité (maîtrise du résultat) et la possibilité d'implémenter les calculs sur un ordinateur. Exemple d'algorithme --------------------- .. raw:: latex \begin{algorithm} \caption{L'alorithme de Bellman-Kalaba} \begin{algorithmic}[1] \Procedure {BellmanKalaba}{$G$, $u$, $l$, $p$} \ForAll {$v \in V(G)$} \State $l(v) \leftarrow \infty$ \EndFor \State $l(u) \leftarrow 0$ \Repeat \For {$i \leftarrow 1, n$} \State $min \leftarrow l(v_i)$ \For {$j \leftarrow 1, n$} \If {$min > e(v_i, v_j) + l(v_j)$} \State $min \leftarrow e(v_i, v_j) + l(v_j)$ \State $p(i) \leftarrow v_j$ \EndIf \EndFor \State $l(i) \leftarrow min$ \EndFor \State $changed \leftarrow l \not= l’$ \State $l \leftarrow l$ \Until{$\neg changed$} \EndProcedure \Statex \Procedure {FindPathBK}{$v$, $u$, $p$} \If {$v = u$} \State \textbf{Write} $v$ \Else \State $w \leftarrow v$ \While {$w \not= u$} \State \textbf{Write} $w$ \State $w \leftarrow p(w)$ \EndWhile \EndIf \EndProcedure \end{algorithmic} \end{algorithm} Exemple d'algorithme avec son implémentation --------------------------------------------- Soit l'algorithme de factorielle suivant, .. raw:: latex \begin{algorithm} \caption{Algorithme de la factorielle d'un nombre}\label{factorielle} \begin{algorithmic}[1] \Function{factorielle}{$n$}\Comment{La fonction récursive factorielle} \BState \emph{parametre} : $n$ entier \If{$n = 1$} \BState \emph{Sortie} : 1 \Else \BState \emph{Sortie} : $n * \Call{factorielle}{n-1}$ \Comment{On appelle la fonction dans l'algorithme lui-même} \EndIf \EndFunction \end{algorithmic} \end{algorithm} et son implémentation en python : .. literalinclude:: code/factorielle.py :language: python En voici une autre implémentation (en OCaml) : .. literalinclude:: code/factorielle.ml :language: ocaml On remarque que le **pseudocode** (l'algorithme vague) est très proche de la syntaxe du python : .. function:: factorielle(n:int) :: if n=1 return 1 else return n * factorielle(n-1) end if Qualité d'un algorithme ----------------------- - correction d'un algorithme - complétude d'un algorithme Sémantique Étude du sens, de la signification d'un langage Définir la sémantique d’un langage formel consiste à lui donner une signification mathématique. Sémantique opérationnelle on définit la sémantique par sa mise en œuvre sur une machine abstraite. Sémantique dénotationnelle on associe à chaque construction syntaxique un objet mathématique Sémantique axiomatique chaque construction est décrite par la manière dont elle transforme des propriétés ou des prédicats. Proposition une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux **exemple** : ``2 + 3 = 5``. Proposition vraie. Prédicats Définition : Une proposition dont la valeur de vérité dépend de la valeur d’une ou plusieurs variables **Exemple** : “n est pair” : vrai pour n = 4 mais faux pour n = 9 Axiome une proposition qui est supposée vraie Un ensemble d’axiomes est consistant s’il n’existe pas de proposition dont on peut démontrer qu’elle est à la fois vraie et fausse. Un ensemble d’axiomes est complet si, pour toute proposition, il est possible de démontrer qu’elle est vraie ou fausse. Théorème d’incomplétude de Gödel (1931) : tout ensemble consistant d’axiomes pour l’arithmétique sur les entiers est nécessairement incomplet. **Les concepts de base en algorithmique sont les axiomes** inférence règles d’inférence, règles permettant de combiner des axiomes et des propositions vraies pour établir de nouvelles propositions vraies. Démonstration vérification d’une proposition par une séquence de déductions logiques à partir d’un ensemble d’axiomes. Lorsque le champ donné (le domaine) ne contient qu'un nombre fini d'individus, on peut définir un choix de valeur des variables permettant de vérifier la proposition obtenue par la *conjonction* de tous les axiomes du système proposé. On dit alors que ce choix *réalise* un système d'axiomes. Il ne s'agit plus de savoir si la définition entraîne l'existence, mais de chercher si la structure d'un système d'axiomes (*règles*) peut donner naissance à un champ d'individus qui soutiennent entre eux les relations définies pas les axiomes. Concret et abstrait -------------------- Il est possible qu'un même genre d'existant joue dans un schéma de genèse le rôle d'abstrait par rapport à un concret de base, et soit au contraire dans une autre genèse le concret de base d'un nouvel abstrait. Une pareille présentation des choses implique un tel renversement par rapport aux habitudes de pensée classiques, qu'il faut encore insister sur le sens nouveau que reçoivent ici les expressions de "concret" et "d'abstrait". Les systèmes d'axiomes sont souvent conçus comme des structures purement formelles, abstraites. Ces structures sont si profondément engagées dans la genèse de leurs réalisations, qu'il valait mieux désigner par ces termes les structures de base. Un système d'axiome *peut* devenir le concret de base. Ceci permet d'exprimer non seulement l'engagement du concret dans la genèse de l'abstrait, mais encore les relations d'imitation qui peuvent exister entre la structure de cet abstrait et celle du concret de base. Dans certains cas, la genèse de l'abstrait à partir d'un concret de base s'affirme jusqu'à réaliser une imitation de structure entre ces genres d'existants qui naissent l'un de l'autre. **C'est pourquoi on représente souvent un algorithme en pseudo-code**, c'est-à-dire en fait dans le mode de représentation (issu du langage préféré de la personne qui l'exprime) dominant chez la personne qui exprime un algorithme. Comment rendre un algorithme lisible ------------------------------------ - Le bon algorithme utilise des identifiants explicites. - Le bon algorithme est structuré. - Le bon algorithme est indenté. Complexité d'un algorithme -------------------------- On peut approximer la complexité des algorithmes. C'est utile pour pouvoir comparer des algorithmes. complexité estimer la complexité d'un algorithme, c'est estimer le nombre de calculs qu'il utilise. Si f est la fonction caractérisant exactement le coût d’un algorithme et n la taille des données, on s’intéresse à la façon dont augment f(n) lorsque n augmente on va montrer que f(n) n'augmente pas plus vite qu’une autre fonction g(n). Du point de vue mathématique, on dit que la fonction f est dominée asymptotiquement par la fonction g ce qui se note f = O(g)