tronc commun algo/algo approfondie
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a0040a3b00
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Algorithmique
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.. include:: ../../tronCommun/algo.txt
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Al-Kharezmi, auteur du traité "Kitab al jabr w'al-muqabala", est l'inventeur
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des manipulations algébriques (algèbre = **al jabr**).
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C'est Léonard de Pise, dit Fibonacci, qui emprunta le nom du célèbre
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mathématicien arabe du 9ème siècle, mais l'algèbre existe
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depuis bien plus longtemps (Depuis Babylone, puis ensuite l'Egypte ancienne).
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.. glossary::
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algorithme
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terme désignant une suite d'opérations constituant un schéma de calcul
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ou de résolution d'un problème. C'est un processus systématique de
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résolution d'un problème permettant de décrire précisément des étapes.
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C'est une suite finie d'instructions permettant de donner la réponse à un
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problème.
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L'algorithmique est l'étude et la production de règles et de techniques
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qui sont impliquées dans la définition d'algorithmes.
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Implémentation d'un algorithme
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.. glossary::
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implémentation
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Adaptation de la méthodologie de calculabilité au calcul effectif
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sur une machine abstraite ou via un langage formel.
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Il n’y a pas de parcours à sens unique de l’algorithme vers l’implantation.
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La quête d’une implantation efficace nous amène souvent à effectuer
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un retour vers les algorithmes eux-mêmes, et à en modifier des points
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essentiels. L’aspect théorique de réflexion sur les algorithmes,
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et l’aspect pratique de l'implémentation sont donc en symbiose.
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Un existant émerge de la décomposition structurale d'un
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domaine de base. Le fait essentiel, c'est la genèse des genres de l'existant les
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uns à partir des autres.
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L'essence d'une forme (un algorithme) se réalise au sein d'une matière qu'elle créée
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(un langage). L'origine d'une matière fait naître les formes (concepts)
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que sa structure dessine.
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- Notion structurale de non-contradiction
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- Notion extensive de "réalisation dans un champ donné"
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Deux aspects réciproques : l'essence d'une forme se réalise au sein d'une
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matière qu'elle crée, l'essence d'une matière faisant naître les formes que sa
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structure dessine.
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Abandonner l'idée trop simpliste de domaines concrets et d'opérations abstraites
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qui posséderaient en eux-mêmes comme une nature de matière et une nature de
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forme ; cette conception tendrait, en effet, à stabiliser les existants
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mathématiques dans certains rôles immuables et ignorerait le fait que les
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existants abstraits qui naissent de la structure d'un domaine plus concret
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peuvent à leur tour servir de domaine de base pour la genèse d'autres existants.
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L'algorithme comme généralisation de la calculabilité
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L'importance croissante de l'informatique comme outil scientifique
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impose d'élaborer un nouveau mode de description des méthodes de calcul (appelées algorithmes)
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susceptible de satisfaire à la fois le critère de sécurité (maîtrise du résultat) et la possibilité
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d'implémenter les calculs sur un ordinateur.
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Exemple d'algorithme
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.. raw:: latex
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\begin{algorithm}
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\caption{L'alorithme de Bellman-Kalaba}
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\begin{algorithmic}[1]
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\Procedure {BellmanKalaba}{$G$, $u$, $l$, $p$}
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\ForAll {$v \in V(G)$}
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\State $l(v) \leftarrow \infty$
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\EndFor
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\State $l(u) \leftarrow 0$
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\Repeat
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\For {$i \leftarrow 1, n$}
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\State $min \leftarrow l(v_i)$
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\For {$j \leftarrow 1, n$}
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||||||
\If {$min > e(v_i, v_j) + l(v_j)$}
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||||||
\State $min \leftarrow e(v_i, v_j) + l(v_j)$
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||||||
\State $p(i) \leftarrow v_j$
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||||||
\EndIf
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||||||
\EndFor
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||||||
\State $l(i) \leftarrow min$
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||||||
\EndFor
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||||||
\State $changed \leftarrow l \not= l’$
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||||||
\State $l \leftarrow l$
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||||||
\Until{$\neg changed$}
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\EndProcedure
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\Statex
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\Procedure {FindPathBK}{$v$, $u$, $p$}
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\If {$v = u$}
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\State \textbf{Write} $v$
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\Else
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\State $w \leftarrow v$
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\While {$w \not= u$}
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||||||
\State \textbf{Write} $w$
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||||||
\State $w \leftarrow p(w)$
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||||||
\EndWhile
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||||||
\EndIf
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||||||
\EndProcedure
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||||||
\end{algorithmic}
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\end{algorithm}
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Exemple d'algorithme avec son implémentation
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Soit l'algorithme de factorielle suivant,
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.. raw:: latex
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\begin{algorithm}
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\caption{Algorithme de la factorielle d'un nombre}\label{factorielle}
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\begin{algorithmic}[1]
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\Function{factorielle}{$n$}\Comment{La fonction récursive factorielle}
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\BState \emph{parametre} : $n$ entier
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\If{$n = 1$}
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\BState \emph{Sortie} : 1
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\Else
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\BState \emph{Sortie} : $n * \Call{factorielle}{n-1}$ \Comment{On appelle la fonction dans l'algorithme lui-même}
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\EndIf
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\EndFunction
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\end{algorithmic}
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\end{algorithm}
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et son implémentation en python :
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.. literalinclude:: code/factorielle.py
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:language: python
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En voici une autre implémentation (en OCaml) :
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.. literalinclude:: code/factorielle.ml
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:language: ocaml
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On remarque que le **pseudocode** est très proche de
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la syntaxe du python :
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.. function:: factorielle(n:int)
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::
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if n=1
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return 1
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else
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return n * factorielle(n-1)
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end if
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Qualité d'un algorithme
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- correction d'un algorithme
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- complétude d'un algorithme
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Sémantique
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Étude du sens, de la signification d'un langage
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Définir la sémantique d’un langage formel consiste à lui donner une
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signification mathématique.
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Sémantique opérationnelle
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on définit la sémantique par sa mise en œuvre sur
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une machine abstraite.
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Sémantique dénotationnelle
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on associe à chaque construction syntaxique un
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objet mathématique
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Sémantique axiomatique
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chaque construction est décrite par la manière dont
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elle transforme des propriétés ou des prédicats.
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Proposition
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une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux
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**exemple** : ``2 + 3 = 5``. Proposition vraie.
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Prédicats
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Une proposition dont la valeur de vérité dépend de la valeur d’une ou plusieurs variables
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**Exemple** : ``n est pair`` : vrai pour n = 4 mais faux pour n = 9
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Axiome
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une proposition qui est supposée vraie
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Un ensemble d’axiomes est consistant s’il n’existe pas de proposition
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dont on peut démontrer qu’elle est à la fois vraie et fausse.
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Un ensemble d’axiomes est complet si, pour toute proposition, il est
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possible de démontrer qu’elle est vraie ou fausse.
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Théorème d’incomplétude de Gödel (1931) : tout ensemble
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consistant d’axiomes pour l’arithmétique sur les entiers est
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nécessairement incomplet.
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**Les concepts de base en algorithmique sont les axiomes**
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inférence
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règles d’inférence, règles permettant de combiner des axiomes et des
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propositions vraies pour établir de nouvelles propositions vraies.
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Démonstration
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vérification d’une proposition par une séquence de déductions logiques
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à partir d’un ensemble d’axiomes.
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Lorsque le champ donné (le domaine) ne contient qu'un nombre fini d'individus,
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on peut définir un choix de valeur des variables permettant de vérifier la
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proposition obtenue par la *conjonction* de tous les axiomes du système proposé.
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On dit alors que ce choix *réalise* un système d'axiomes.
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Il ne s'agit plus de savoir si la définition entraîne l'existence, mais de
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chercher si la structure d'un système d'axiomes (*règles*) peut donner naissance
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à un champ d'individus qui soutiennent entre eux les relations définies pas les
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axiomes.
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Concret et abstrait
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Il est possible qu'un même genre d'existant joue dans un schéma de genèse le
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rôle d'abstrait par rapport à un concret de base, et soit au contraire dans une
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autre genèse le concret de base d'un nouvel abstrait.
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Une pareille présentation des choses implique un tel renversement par rapport
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aux habitudes de pensée classiques, qu'il faut encore insister sur le sens
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nouveau que reçoivent ici les expressions de "concret" et "d'abstrait".
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Les systèmes d'axiomes sont souvent conçus comme des structures purement
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formelles, abstraites. Ces structures sont si profondément engagées dans la
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genèse de leurs réalisations, qu'il valait mieux désigner par ces termes les
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structures de base.
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Un système d'axiome *peut* devenir le concret de base.
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Ceci permet d'exprimer non seulement l'engagement du concret dans la genèse de
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l'abstrait, mais encore les relations d'imitation qui peuvent exister entre la
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structure de cet abstrait et celle du concret de base.
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Dans certains cas, la genèse de l'abstrait à partir d'un concret de base
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s'affirme jusqu'à réaliser une imitation de structure entre ces genres
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d'existants qui naissent l'un de l'autre.
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**C'est pourquoi on représente souvent un algorithme en pseudo-code**,
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c'est-à-dire en fait dans le mode de représentation (issu du langage préféré de la
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personne qui l'exprime) dominant chez la personne qui exprime un algorithme.
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Comment rendre un algorithme lisible
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- Le bon algorithme utilise des identifiants explicites.
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- Le bon algorithme est structuré.
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- Le bon algorithme est indenté.
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Complexité d'un algorithme
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On peut approximer la complexité des algorithmes.
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C'est utile pour pouvoir comparer des algorithmes.
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complexité
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estimer la complexité d'un algorithme, c'est estimer le nombre de calculs qu'il utilise.
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Si f est la fonction caractérisant exactement le coût d’un algorithme et n
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la taille des données, on s’intéresse à la façon dont augment f(n) lorsque n augmente
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on va montrer que f(n) n'augmente pas plus vite qu’une autre fonction
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g(n). Du point de vue mathématique, on dit que la fonction f est dominée
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asymptotiquement par la fonction g ce qui se note f = O(g)
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- Complexité temporelle : c’est le nombre d’op«erations effectuées par
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une machine qui exécute l’algorithme.
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- Complexité spatiale : c’est le nombre de positions mémoire utilisées par
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une machine qui exécute l’algorithme.
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Présentation de l'art de programmer
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.. include:: ../../tronCommun/fondement.txt
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Qu'est-ce que la programmation ?
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programmation
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Description d’un calcul (traitement) dans
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un langage compréhensible par la machine
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(langage de programmation)
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Le processus d'abstraction
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Débuter en programmation n'est pas une chose aisée. Aujourd'hui, la tendance est au
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"bas niveau". Souvent, on se jette dans le grand bain :
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- soit en s'approchant au maximum de la machine (admin système et réseau, noyau
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linux, langage C)
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- soit en faisant du dev web côté backend, ce qui ramène à une administration réseau
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de bas niveau (microservices, monde nodeJS/javascript, etc...)
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Soit on suit un cursus scolaire traditionnel qui commence souvent par une
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explication du fonctionnement d'une machine abstraite de bas niveau, puis en
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allant de plus en plus haut, mais étant sous-entendu qu'il faut rester connecté au
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bas niveau (comprendre comment ça se passe derrière la scène).
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Dans ces deux cas, il est sous-entendu qu'on apprend plus de choses et plus rapidement en mettant
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les mains dans le cambouis, ce qui est vrai bien sûr. Mais cela sous-entend qu'un développeur doit
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rester le nez dans le guidon. Qu'il doit être un expert de son domaine en accumulant des technologies
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sans aucun recul. Bien sûr il se doit d'être un expert du système dans lequel il évolue
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(connaissance du système d'exploitation, binding avec le C, du ramasse miette (garbage
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collector), interaction avec les différentes librairies, gestion et optimisation de la mémoire,
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architecture par microservices, threads...) mais il doit aussi être capable de prendre du recul.
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L'approche algorithmique (algorithmique de pseudo code, algorithmique algébrique et modulaire)
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est un véritable moyen pour le programmeur de prendre du recul : elle commence par se placer du
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côté de l'esprit humain et de ses capacités de compréhension et d'abstraction, elle autorise une
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pensée rationnelle sur l'art de programmer et permet au programmeur d'effectuer les bons choix,
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en connaissance de sa discipline.
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Le lien est fait ensuite avec le plus bas niveau grâce une implémentation effective
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des langages à partir des paradigmes de rationalisation de la penseée (modules,
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objects, généricité, polymorphisme paramétrique...) et d'un outil de communication
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avec la machine qu'on appelle compilateur (dont la description est en dehors de
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l'objectif de ce cours).
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La tendance générale de l'évolution des langages est de se libérer de ces
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contraintes de bas niveau, un peu comme en sciences physiques où les lois physiques
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dépendent de l'échelle d'en dessous (du niveau microscopique/quantique) mais qu'à
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l'échelle du dessus, on n'a pas affaire à des effets de bas niveau (pas d'effets
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quantiques à un niveau macroscopique en général). Ce processus d'évolution est vrai
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aussi dans le monde de la technique informatique lui-même (modèle OSI, comment est
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construite une trame IP, indépendances de chaque couche (transport, payload) entre
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elles). Même la tendance système est à la virtualisation qui accentue encore la
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tendance à s'affranchir du bas niveau (le niveau système), le séparer nettement du
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haut niveau (le niveau applicatif).
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Il apparaît régulièrement de nouveaux langages. Comment s'orienter ? Quel(s)
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langage(s) choisir pour un projet de développement ? Au delà de leurs disparités, la
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conception et la genèse de chacun d'eux procèdent d'une motivation partagée : la
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volonté d'abstraire.
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- **s'abstraire de la machine** : un langage de programmation permet de
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négliger l'aspect *mécanique* de l'ordinateur. On oublie le modèle du
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microprocesseur, jusqu'au système d'exploitation sur lequel sera exécuté
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le programme.
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- **abstraire les erreurs** : Il s'agit ici de garantir la sûreté d'exécution; un
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programme ne doit pas se terminer brutalement ou devenir incohérent en cas d'erreur.
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Un des moyens pour y parvenir est le typage des programmes et la mise
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en oeuvre d'un mécanisme d'exceptions.
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- **abstraire le mode opératoire** : Il s'agit de choisir une représentation, un
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paradigme d'implémentation qui est indépendant du domaine considéré (paradigme
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objet, modulaire, générique, composants...)
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- **abstraire les composants** : Les langages de programmation donnent la
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possibilité de découper une application en différents composants logiciels, plus ou
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moins indépendants et autonomes. La modularité permet une structuration de plus haut
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niveau de l'ensemble d'une application complexe. Les langages à objets constituent
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une autre approche de la réutilisabilité permettant la réalisation très rapide de
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prototypes.
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Description des niveaux d'abstraction par rapport à la machine
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Les langages de haut niveau simplifient le travail du
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programmeur là où les langages de bas niveau permettent de produire un code
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plus efficace.
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- **niveau 0** : le langage machine. Illisible, c'est une suite d'optcode.
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impossible de coder dans ce langage.
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- **niveau 1** : langage d'assemblage. Il reste très dépendant de la machine
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et aujourd'hui il est rare d'en faire, sauf si on code un bootloader par exemple,
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la gestion de l'accès à la mémoire est en réel (le mode protégé n'apparaît que après).
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Il faut gérer les ressources,le langage est très optimisé mais presque impossible
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à maintenir et rendre générique. Aujourd'hui plus personne ne code en assembleur.
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- **niveau 2** : langages dits de **bas niveau** : (exemple : le C, le C++)
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indépendance par rapport à la machine, grande structuration mais très verbeux
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- **niveau 3** : langages dits de **haut niveau** : le raisonnement dans ces
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langages ne dépent plus de la machine, et ils implémentent des paradigmes de
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programmation indépendant de l'état de la mémoire de l'ordinateur,
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ils sont indépendant même du système d'exploitation.
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Qu'est-ce qu'une machine ?
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---------------------------
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Une machine, ce truc apparemment si complexe, est en fait
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un assemblage de bric et de brac.
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L'assemblage des connecteurs permet de simuler un additionneur,
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en prenant en compte les propriétés de **reste euclidien**
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de l'addition.
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La structure électronique est composée de :
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- un ordonnanceur.
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- le stockage d'un **état**.
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- une pile d'instruction
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.. glossary::
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adressage
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Dès lors qu'on dispose de ces bases électronique au dessus du processeur,
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un langage d'assemblage est possible, c'est le langage de calcul sur les registres.
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registre
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machines ont un espace mémoire et un espace de calcul (registres)
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Un ordinateur, c'est très très stupide, mais ça permet de disposer de :
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- une mémoire très grande et ordonnée,
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- une capacité à effectuer inlassablement des tâches répétitives
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- une grande rapidité de calcul
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Apprendre à programmer, c'est-à-dire être capable de
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contrôler la machine.
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.. important:: Apprendre à programmer, c'est-à-dire apprendre à penser de manière structurée,
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pour pouvoir accessoirement ensuite communiquer avec une machine.
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Compilateur
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Schématiquement, un compilateur est un programme qui traduit un
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programme d’un langage source vers un langage cible, en signalant
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d’éventuelles erreurs.
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Quand on parle de compilation, on pense typiquement à la traduction d’un
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langage de haut niveau (C, Java, Caml, ...) vers le langage machine d’un
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processeur (Intel Pentium, PowerPC, ...)
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- xml (libre office, word) -> postscript (imprimante)
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- postcript -> image
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- syntaxe wiki -> html (Wikipédia...)
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compilation graphique
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passer une description, ça donne un dessin genre ocaml Quilt < mon_dessin.txt
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passer par une api qui permet de causer avec une interface
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**transpiler** : transformation d'un langage de haut niveau vers un autre
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langage de haut niveau.
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- cofee script, typescript -> javascript
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- (babel) javascript -> javascript ES 6
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- python -> javascript
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Un compilateur traduit un programme P en un programme Q tel que
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pour toute entrée x , la sortie de `Q(x)` soit la même que celle de `P(x)`
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Un interprète est un programme qui, étant donné un programme `P` et une
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entrée x , calcule la sortie s de `P(x)`
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Le compilateur fait un travail complexe une seule fois, pour produire un
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code fonctionnant pour n’importe quelle entrée
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L’interprète effectue un travail plus simple, mais le refait sur chaque entrée
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Autre différence : le code compilé est généralement bien plus efficace que
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le code interprété
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Typiquement, le travail d’un compilateur se compose d’une phase d’analyse
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- reconnaît le programme à traduire et sa signification
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- signale les erreurs et peut donc échouer (erreurs de syntaxe, de portée, de typage, etc.)
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Puis d’une phase de synthèse
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- production du langage cible
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- utilise de nombreux langages intermédiaires
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- n’échoue pas
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@ -1,5 +1,5 @@
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Introduction à l'algorithmique
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Algorithmique Approfondie
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================================
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=========================
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.. toctree::
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.. toctree::
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:maxdepth: 2
|
:maxdepth: 2
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|
@ -0,0 +1 @@
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.. include:: ../../tronCommun/langage.txt
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@ -1,291 +0,0 @@
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||||||
Algorithmique
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=============
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Al-Kharezmi, auteur du traité "Kitab al jabr w'al-muqabala", est l'inventeur
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des manipulations algébriques (algèbre = **al jabr**).
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C'est Léonard de Pise, dit Fibonacci, qui emprunta le nom du célèbre
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mathématicien arabe du 9ème siècle, mais l'algèbre existe
|
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depuis bien plus longtemps (Depuis Babylone, puis ensuite l'Egypte ancienne).
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.. glossary::
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algorithme
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terme désignant une suite d'opérations constituant un schéma de calcul
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ou de résolution d'un problème. C'est un processus systématique de
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résolution d'un problème permettant de décrire précisément des étapes.
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C'est une suite finie d'instructions permettant de donner la réponse à un
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problème.
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L'algorithmique est l'étude et la production de règles et de techniques
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qui sont impliquées dans la définition d'algorithmes.
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Implémentation d'un algorithme
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.. glossary::
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implémentation
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Adaptation de la méthodologie de calculabilité au calcul effectif
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sur une machine abstraite ou via un langage formel.
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Il n’y a pas de parcours à sens unique de l’algorithme vers l’implantation.
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La quête d’une implantation efficace nous amène souvent à effectuer
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un retour vers les algorithmes eux-mêmes, et à en modifier des points
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essentiels. L’aspect théorique de réflexion sur les algorithmes,
|
|
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et l’aspect pratique de l'implémentation sont donc en symbiose.
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Un existant émerge de la décomposition structurale d'un
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domaine de base. Le fait essentiel, c'est la genèse des genres de l'existant les
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uns à partir des autres.
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L'essence d'une forme (un algorithme) se réalise au sein d'une matière qu'elle créée
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(un langage). L'origine d'une matière fait naître les formes (concepts)
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que sa structure dessine.
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- Notion structurale de non-contradiction
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- Notion extensive de "réalisation dans un champ donné"
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Deux aspects réciproques : l'essence d'une forme se réalise au sein d'une
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matière qu'elle crée, l'essence d'une matière faisant naître les formes que sa
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structure dessine.
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Abandonner l'idée trop simpliste de domaines concrets et d'opérations abstraites
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qui posséderaient en eux-mêmes comme une nature de matière et une nature de
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forme ; cette conception tendrait, en effet, à stabiliser les existants
|
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mathématiques dans certains rôles immuables et ignorerait le fait que les
|
|
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existants abstraits qui naissent de la structure d'un domaine plus concret
|
|
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peuvent à leur tour servir de domaine de base pour la genèse d'autres existants.
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||||||
L'algorithme comme généralisation de la calculabilité
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------------------------------------------------------
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L'importance croissante de l'informatique comme outil scientifique
|
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impose d'élaborer un nouveau mode de description des méthodes de calcul (appelées algorithmes)
|
|
||||||
susceptible de satisfaire à la fois le critère de sécurité (maîtrise du résultat) et la possibilité
|
|
||||||
d'implémenter les calculs sur un ordinateur.
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||||||
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Exemple d'algorithme
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---------------------
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.. raw:: latex
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||||||
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||||||
\begin{algorithm}
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||||||
\caption{L'alorithme de Bellman-Kalaba}
|
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||||||
\begin{algorithmic}[1]
|
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||||||
\Procedure {BellmanKalaba}{$G$, $u$, $l$, $p$}
|
|
||||||
\ForAll {$v \in V(G)$}
|
|
||||||
\State $l(v) \leftarrow \infty$
|
|
||||||
\EndFor
|
|
||||||
\State $l(u) \leftarrow 0$
|
|
||||||
\Repeat
|
|
||||||
\For {$i \leftarrow 1, n$}
|
|
||||||
\State $min \leftarrow l(v_i)$
|
|
||||||
\For {$j \leftarrow 1, n$}
|
|
||||||
\If {$min > e(v_i, v_j) + l(v_j)$}
|
|
||||||
\State $min \leftarrow e(v_i, v_j) + l(v_j)$
|
|
||||||
\State $p(i) \leftarrow v_j$
|
|
||||||
\EndIf
|
|
||||||
\EndFor
|
|
||||||
\State $l(i) \leftarrow min$
|
|
||||||
\EndFor
|
|
||||||
\State $changed \leftarrow l \not= l’$
|
|
||||||
\State $l \leftarrow l$
|
|
||||||
\Until{$\neg changed$}
|
|
||||||
\EndProcedure
|
|
||||||
\Statex
|
|
||||||
\Procedure {FindPathBK}{$v$, $u$, $p$}
|
|
||||||
\If {$v = u$}
|
|
||||||
\State \textbf{Write} $v$
|
|
||||||
\Else
|
|
||||||
\State $w \leftarrow v$
|
|
||||||
\While {$w \not= u$}
|
|
||||||
\State \textbf{Write} $w$
|
|
||||||
\State $w \leftarrow p(w)$
|
|
||||||
\EndWhile
|
|
||||||
\EndIf
|
|
||||||
\EndProcedure
|
|
||||||
\end{algorithmic}
|
|
||||||
\end{algorithm}
|
|
||||||
|
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||||||
Exemple d'algorithme avec son implémentation
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---------------------------------------------
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||||||
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Soit l'algorithme de factorielle suivant,
|
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||||||
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||||||
.. raw:: latex
|
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||||||
|
|
||||||
\begin{algorithm}
|
|
||||||
\caption{Algorithme de la factorielle d'un nombre}\label{factorielle}
|
|
||||||
\begin{algorithmic}[1]
|
|
||||||
\Function{factorielle}{$n$}\Comment{La fonction récursive factorielle}
|
|
||||||
\BState \emph{parametre} : $n$ entier
|
|
||||||
\If{$n = 1$}
|
|
||||||
\BState \emph{Sortie} : 1
|
|
||||||
\Else
|
|
||||||
\BState \emph{Sortie} : $n * \Call{factorielle}{n-1}$ \Comment{On appelle la fonction dans l'algorithme lui-même}
|
|
||||||
\EndIf
|
|
||||||
\EndFunction
|
|
||||||
\end{algorithmic}
|
|
||||||
\end{algorithm}
|
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||||||
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et son implémentation en python :
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.. literalinclude:: code/factorielle.py
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:language: python
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En voici une autre implémentation (en OCaml) :
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.. literalinclude:: code/factorielle.ml
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:language: ocaml
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On remarque que le **pseudocode** est très proche de
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la syntaxe du python :
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.. function:: factorielle(n:int)
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||||||
::
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||||||
if n=1
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||||||
return 1
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||||||
else
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||||||
return n * factorielle(n-1)
|
|
||||||
end if
|
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||||||
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Qualité d'un algorithme
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-----------------------
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- correction d'un algorithme
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- complétude d'un algorithme
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Sémantique
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Étude du sens, de la signification d'un langage
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Définir la sémantique d’un langage formel consiste à lui donner une
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signification mathématique.
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Sémantique opérationnelle
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on définit la sémantique par sa mise en œuvre sur
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une machine abstraite.
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Sémantique dénotationnelle
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on associe à chaque construction syntaxique un
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objet mathématique
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Sémantique axiomatique
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chaque construction est décrite par la manière dont
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elle transforme des propriétés ou des prédicats.
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Proposition
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une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux
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**exemple** : ``2 + 3 = 5``. Proposition vraie.
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Prédicats
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Une proposition dont la valeur de vérité dépend de la valeur d’une ou plusieurs variables
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**Exemple** : ``n est pair`` : vrai pour n = 4 mais faux pour n = 9
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Axiome
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une proposition qui est supposée vraie
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Un ensemble d’axiomes est consistant s’il n’existe pas de proposition
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dont on peut démontrer qu’elle est à la fois vraie et fausse.
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||||||
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||||||
Un ensemble d’axiomes est complet si, pour toute proposition, il est
|
|
||||||
possible de démontrer qu’elle est vraie ou fausse.
|
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Théorème d’incomplétude de Gödel (1931) : tout ensemble
|
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consistant d’axiomes pour l’arithmétique sur les entiers est
|
|
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nécessairement incomplet.
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**Les concepts de base en algorithmique sont les axiomes**
|
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||||||
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inférence
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||||||
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||||||
règles d’inférence, règles permettant de combiner des axiomes et des
|
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||||||
propositions vraies pour établir de nouvelles propositions vraies.
|
|
||||||
|
|
||||||
Démonstration
|
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||||||
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||||||
vérification d’une proposition par une séquence de déductions logiques
|
|
||||||
à partir d’un ensemble d’axiomes.
|
|
||||||
|
|
||||||
Lorsque le champ donné (le domaine) ne contient qu'un nombre fini d'individus,
|
|
||||||
on peut définir un choix de valeur des variables permettant de vérifier la
|
|
||||||
proposition obtenue par la *conjonction* de tous les axiomes du système proposé.
|
|
||||||
On dit alors que ce choix *réalise* un système d'axiomes.
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
Il ne s'agit plus de savoir si la définition entraîne l'existence, mais de
|
|
||||||
chercher si la structure d'un système d'axiomes (*règles*) peut donner naissance
|
|
||||||
à un champ d'individus qui soutiennent entre eux les relations définies pas les
|
|
||||||
axiomes.
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Concret et abstrait
|
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--------------------
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||||||
Il est possible qu'un même genre d'existant joue dans un schéma de genèse le
|
|
||||||
rôle d'abstrait par rapport à un concret de base, et soit au contraire dans une
|
|
||||||
autre genèse le concret de base d'un nouvel abstrait.
|
|
||||||
|
|
||||||
Une pareille présentation des choses implique un tel renversement par rapport
|
|
||||||
aux habitudes de pensée classiques, qu'il faut encore insister sur le sens
|
|
||||||
nouveau que reçoivent ici les expressions de "concret" et "d'abstrait".
|
|
||||||
|
|
||||||
Les systèmes d'axiomes sont souvent conçus comme des structures purement
|
|
||||||
formelles, abstraites. Ces structures sont si profondément engagées dans la
|
|
||||||
genèse de leurs réalisations, qu'il valait mieux désigner par ces termes les
|
|
||||||
structures de base.
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|
||||||
|
|
||||||
Un système d'axiome *peut* devenir le concret de base.
|
|
||||||
|
|
||||||
Ceci permet d'exprimer non seulement l'engagement du concret dans la genèse de
|
|
||||||
l'abstrait, mais encore les relations d'imitation qui peuvent exister entre la
|
|
||||||
structure de cet abstrait et celle du concret de base.
|
|
||||||
|
|
||||||
Dans certains cas, la genèse de l'abstrait à partir d'un concret de base
|
|
||||||
s'affirme jusqu'à réaliser une imitation de structure entre ces genres
|
|
||||||
d'existants qui naissent l'un de l'autre.
|
|
||||||
|
|
||||||
**C'est pourquoi on représente souvent un algorithme en pseudo-code**,
|
|
||||||
c'est-à-dire en fait dans le mode de représentation (issu du langage préféré de la
|
|
||||||
personne qui l'exprime) dominant chez la personne qui exprime un algorithme.
|
|
||||||
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|
||||||
Comment rendre un algorithme lisible
|
|
||||||
------------------------------------
|
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||||||
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|
||||||
- Le bon algorithme utilise des identifiants explicites.
|
|
||||||
- Le bon algorithme est structuré.
|
|
||||||
- Le bon algorithme est indenté.
|
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||||||
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||||||
Complexité d'un algorithme
|
|
||||||
--------------------------
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||||||
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||||||
On peut approximer la complexité des algorithmes.
|
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||||||
C'est utile pour pouvoir comparer des algorithmes.
|
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||||||
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||||||
complexité
|
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||||||
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estimer la complexité d'un algorithme, c'est estimer le nombre de calculs qu'il utilise.
|
|
||||||
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|
||||||
Si f est la fonction caractérisant exactement le coût d’un algorithme et n
|
|
||||||
la taille des données, on s’intéresse à la façon dont augment f(n) lorsque n augmente
|
|
||||||
on va montrer que f(n) n'augmente pas plus vite qu’une autre fonction
|
|
||||||
g(n). Du point de vue mathématique, on dit que la fonction f est dominée
|
|
||||||
asymptotiquement par la fonction g ce qui se note f = O(g)
|
|
||||||
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|
||||||
- Complexité temporelle : c’est le nombre d’op«erations effectuées par
|
|
||||||
une machine qui exécute l’algorithme.
|
|
||||||
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|
||||||
- Complexité spatiale : c’est le nombre de positions mémoire utilisées par
|
|
||||||
une machine qui exécute l’algorithme.
|
|
||||||
|
|
@ -1,294 +0,0 @@
|
||||||
Les structures de contrôle
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||||||
==========================
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||||||
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||||||
L'instruction de saut
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||||||
----------------------
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||||||
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||||||
.. raw:: latex
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||||||
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||||||
\begin{algorithm}
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||||||
\caption{Exemple de saut conditionnel}\label{saut}
|
|
||||||
\begin{algorithmic}[1]
|
|
||||||
\Procedure{Euclide}{} \Comment{c'est l'algorithme d'Euclide}
|
|
||||||
\State $\textit{stringlen} \gets \text{length of }\textit{string}$
|
|
||||||
\State $i \gets \textit{patlen}$
|
|
||||||
\BState \emph{top}:
|
|
||||||
\If {$i > \textit{stringlen}$} \Return false
|
|
||||||
\EndIf
|
|
||||||
\State $j \gets \textit{patlen}$
|
|
||||||
\BState \emph{loop}: \Comment{C'est le label (l'étiquette)} \label{etiquette}
|
|
||||||
\If {$\textit{string}(i) = \textit{path}(j)$}
|
|
||||||
\State $j \gets j-1$.
|
|
||||||
\State $i \gets i-1$.
|
|
||||||
\State \textbf{goto} \emph{loop}. \label{goto}
|
|
||||||
\State \textbf{close};
|
|
||||||
\EndIf
|
|
||||||
\State $i \gets
|
|
||||||
i+\max(\textit{delta}_1(\textit{string}(i)),\textit{delta}_2(j))$.
|
|
||||||
\State \textbf{goto} \emph{top}. \Comment{C'est l'instruction de saut}
|
|
||||||
\EndProcedure
|
|
||||||
\end{algorithmic}
|
|
||||||
\end{algorithm}
|
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||||||
|
|
||||||
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||||||
.. raw:: latex
|
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||||||
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|
||||||
Ligne \ref{etiquette}, le bloc `loop` est aussi un label (une étiquette),
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||||||
c'est-à-dire une marque posée qu'il est possible de retrouver dans le programme. \\
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||||||
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|
||||||
.. raw:: latex
|
|
||||||
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|
||||||
Ligne \ref{goto}, l'instruction \texttt{goto} (aller à ) est le saut vers le label. \\
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||||||
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||||||
Description générique d'une instruction de saut::
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Instruction 1
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Saut Label1
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Instruction 2
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...
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||||||
Label1:
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||||||
Instruction n
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||||||
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||||||
.. important:: les sauts conditionnels sont à éviter, même s'ils sont implémentés
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||||||
dans le langage cible, car c'est le meilleur moyen d'aboutir à
|
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||||||
du **code spaghetti**.
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||||||
L'instruction de branchement conditionnel
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------------------------------------------
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||||||
On appelle structure conditionnelle les instructions qui permettent de tester si une condition est vraie ou non.
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||||||
.. raw:: latex
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||||||
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||||||
\begin{algorithm}
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||||||
\caption{Exemple d'instruction de test}
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||||||
\begin{algorithmic}[1]
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||||||
\BState \emph{entrée}: $quality\gets 0$ \Comment{C'est cette valeur qui sera testée}
|
|
||||||
\BState \emph{locale}: $a\gets ""$
|
|
||||||
\BState \emph{sortie}: $a$ \Comment{La sortie est la valeur de $a$}
|
|
||||||
\BState \emph{corps}:
|
|
||||||
\If{$quality\ge 9$}
|
|
||||||
\State $a\gets perfect$
|
|
||||||
\ElsIf{$quality\ge 7$}
|
|
||||||
\State $a\gets good$
|
|
||||||
\ElsIf{$quality\ge 5$}
|
|
||||||
\State $a\gets medium$
|
|
||||||
\ElsIf{$quality\ge 3$}
|
|
||||||
\State $a\gets bad$
|
|
||||||
\Else
|
|
||||||
\State $a\gets unusable$
|
|
||||||
\EndIf
|
|
||||||
\end{algorithmic}
|
|
||||||
\end{algorithm}
|
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||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
.. ifconfig:: exercice
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|
||||||
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||||||
**Exercice** : Compacter l'algorithme suivant en une seule condition de test::
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||||||
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||||||
Si il fait trop chaud Alors
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|
||||||
Si il ne pleut pas Alors
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||||||
Ouvrir la fenêtre
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|
||||||
Sinon
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|
||||||
Fermer la fenêtre
|
|
||||||
Finsi
|
|
||||||
Sinon
|
|
||||||
Fermer la fenêtre
|
|
||||||
Finsi
|
|
||||||
|
|
||||||
.. ifconfig:: correction
|
|
||||||
|
|
||||||
**Correction** :
|
|
||||||
|
|
||||||
::
|
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||||||
|
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||||||
Si il fait trop chaud ET il ne pleut pas Alors
|
|
||||||
Ouvrir la fenêtre
|
|
||||||
Sinon
|
|
||||||
Fermer la fenêtre
|
|
||||||
Finsi
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
L'instruction switch
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||||||
--------------------
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||||||
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||||||
L'instruction switch permet de faire plusieurs tests de valeurs sur le contenu d'une même variable.
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||||||
Ce branchement conditionnel simplifie beaucoup le test de plusieurs valeurs d'une variable.
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||||||
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|
||||||
Les instructions d'itérations (boucles)
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|
||||||
---------------------------------------
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||||||
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||||||
.. important:: Toutes les boucles concernent le paradigme de programmation impératif
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||||||
et ne sont pas valides dans le paradigme de programmation fonctionnel
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||||||
(puisque l'ordre d'évaluation importe)
|
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||||||
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|
||||||
- arrêt conditionnel (break)
|
|
||||||
- passage d'un pas (continue)
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||||||
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||||||
Répéter ... jusqu'à
|
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||||||
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
|
|
||||||
|
|
||||||
.. raw:: latex
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{algorithm}
|
|
||||||
\caption{Exemple de répéter ... jusqu'à}
|
|
||||||
\begin{algorithmic}[1]
|
|
||||||
\BState \emph{locales}: $i \gets 1$ \Comment{déclaration et initialisation de i}
|
|
||||||
\Repeat \Comment{c'est le label de début du répéter}
|
|
||||||
\State $i \gets \textit{i+1}$
|
|
||||||
\Until{i == 100} \Comment{condition de fin de la boucle}
|
|
||||||
\end{algorithmic}
|
|
||||||
\end{algorithm}
|
|
||||||
|
|
||||||
La boucle **pour** (for)
|
|
||||||
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
|
|
||||||
|
|
||||||
.. raw:: latex
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{algorithm}
|
|
||||||
\caption{Exemple de boucle for}
|
|
||||||
\begin{algorithmic}[1]
|
|
||||||
\BState \emph{locales}: $sum\gets 0$
|
|
||||||
\For{$i\gets 1, n$}
|
|
||||||
\State $sum\gets sum+i$
|
|
||||||
\EndFor
|
|
||||||
\end{algorithmic}
|
|
||||||
\end{algorithm}
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
.. ifconfig:: exercice
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||||||
|
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||||||
**Exercice** : Ecrire un algorithme qui demande successivement 20 nombres à l’utilisateur,
|
|
||||||
et qui lui dise ensuite quel était le plus grand parmi ces 20 nombres
|
|
||||||
|
|
||||||
.. ifconfig:: correction
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||||||
|
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||||||
**Correction** :
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::
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||||||
Variables N, i, PG en Entier
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Debut
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||||||
PG <- 0
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||||||
Pour i <- 1 à 20
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||||||
Ecrire "Entrez un nombre : "
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|
||||||
Lire N
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|
||||||
Si i = 1 ou N > PG Alors
|
|
||||||
PG <- N
|
|
||||||
FinSi
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|
||||||
Ecrire "Le nombre le plus grand était : ", PG
|
|
||||||
Fin
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||||||
|
|
||||||
|
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||||||
.. attention:: ne jamais manipuler le compteur dans une boucle
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::
|
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||||||
|
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||||||
Variable Truc en Entier
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||||||
Début
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||||||
Pour Truc <- 1 à 15
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Truc <- Truc * 2
|
|
||||||
Ecrire "Passage numéro : ", Truc
|
|
||||||
Truc Suivant
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|
||||||
Fin
|
|
||||||
|
|
||||||
La boucle tant que (while)
|
|
||||||
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
|
|
||||||
|
|
||||||
.. raw:: latex
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{algorithm}
|
|
||||||
\caption{Exemple de boucle while}
|
|
||||||
\begin{algorithmic}[1]
|
|
||||||
\BState \emph{locales}: $sum\gets 0$
|
|
||||||
\State $i\gets 1$
|
|
||||||
\While{$i\le n$}
|
|
||||||
\State $sum\gets sum+i$
|
|
||||||
\State $i\gets i+1$
|
|
||||||
\EndWhile
|
|
||||||
\end{algorithmic}
|
|
||||||
\end{algorithm}
|
|
||||||
|
|
||||||
.. ifconfig:: exercice
|
|
||||||
|
|
||||||
**Exercice** : Ecrire un algorithme de validation d'une entrée utilisateur
|
|
||||||
|
|
||||||
::
|
|
||||||
|
|
||||||
"Voulez vous un café ? (O/N)"
|
|
||||||
|
|
||||||
.. ifconfig:: correction
|
|
||||||
|
|
||||||
**Correction** : deux solutions possibles, une
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||||||
::
|
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||||||
|
|
||||||
Variable Rep en Caractère
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|
||||||
Début
|
|
||||||
Rep <- ""
|
|
||||||
Ecrire "Voulez vous un café ? (O/N)"
|
|
||||||
TantQue Rep <> "O" et Rep <> "N"
|
|
||||||
Lire Rep
|
|
||||||
Si Rep <> "O" et Rep <> "N" Alors
|
|
||||||
Ecrire "Saisie Erronée, Recommencez"
|
|
||||||
FinSi
|
|
||||||
FinTantQue
|
|
||||||
Fin
|
|
||||||
|
|
||||||
::
|
|
||||||
|
|
||||||
Variable Rep en Caractère
|
|
||||||
Début
|
|
||||||
Ecrire "Voulez vous un café ? (O/N)"
|
|
||||||
Lire Rep
|
|
||||||
TantQue Rep <> "O" et Rep <> "N"
|
|
||||||
Ecrire "Vous devez répondre par O ou N. Recommencez"
|
|
||||||
Lire Rep
|
|
||||||
FinTantQue
|
|
||||||
Ecrire "Saisie acceptée"
|
|
||||||
Fin
|
|
||||||
|
|
||||||
.. ifconfig:: exercice
|
|
||||||
|
|
||||||
**Exercice** : "C'est plus, C'est moins", c'est-à-dire Ecrire un algorithme qui demande à l’utilisateur
|
|
||||||
un nombre compris entre a et b jusqu’à ce que la réponse convienne.
|
|
||||||
|
|
||||||
.. ifconfig:: correction
|
|
||||||
|
|
||||||
**Correction** :
|
|
||||||
|
|
||||||
::
|
|
||||||
|
|
||||||
Variable N en Entier
|
|
||||||
Debut
|
|
||||||
N <- 0
|
|
||||||
Ecrire "Entrez un nombre entre 10 et 20"
|
|
||||||
TantQue N < 10 ou N > 20
|
|
||||||
Lire N
|
|
||||||
Si N < 10 Alors
|
|
||||||
Ecrire "Plus grand !"
|
|
||||||
SinonSi N > 20 Alors
|
|
||||||
Ecrire "Plus petit !"
|
|
||||||
FinSi
|
|
||||||
FinTantQue
|
|
||||||
Fin
|
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||||||
|
|
||||||
Et les autres boucles : répéter... jusqu'à, etc...
|
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||||||
|
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||||||
.. raw:: latex
|
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||||||
|
|
||||||
\begin{algorithm}
|
|
||||||
\caption{Exemple de boucle répéter}
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{algorithmic}[1]
|
|
||||||
\State $sum\gets 0$
|
|
||||||
\State $i\gets 1$
|
|
||||||
\Repeat
|
|
||||||
\State $sum\gets sum+i$
|
|
||||||
\State $i\gets i+1$
|
|
||||||
\Until{$i>n$}
|
|
||||||
\end{algorithmic}
|
|
||||||
\end{algorithm}
|
|
||||||
|
|
@ -7,10 +7,8 @@ Introduction à l'algorithmique
|
||||||
presentation
|
presentation
|
||||||
fondement
|
fondement
|
||||||
langage
|
langage
|
||||||
algo
|
|
||||||
programme
|
programme
|
||||||
fonctions
|
fonctions
|
||||||
control
|
|
||||||
donnees
|
donnees
|
||||||
apercu
|
apercu
|
||||||
modularite
|
modularite
|
||||||
|
|
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